文章題の算数シリーズ(41)
47.場合の数(4)
例1.10個の数がある。この中から2つを選ぶ。次の問いに答えよ(聖光学院)。
1,10,11,100,101,110、111,1000,1001,1010
1)2つの数の選び方は、何組あるか。
解説:10から2つを選ぶ組み合わせだから、10C2=(10×9)÷(2×1)=45(組)。
2)2つの数の差が3の倍数になるのは何組あるか。
解説:この問題は3で割った時の余りを調べればよい。余りは、0、1、2の3通りある。同じ余りの組み合わせは3で割り切れる、すなわち3の倍数となる。
余りが0・・・111→1つだから組合せができない。
余りが1・・・1,10,100,1000→4つから2つ選ぶ組み合わせは、
4C2=(4×3)÷(2×1)=6(組)。
余りが2・・・11,101,110、1001,1010→5つから2つ選ぶ組み合わせは、
5C2=(5×4)÷(2×1)=10(組)。
以上、全部で、6+10=16(組)
3)2つの数の和が3の倍数になるのは何組あるか。
解説:2つの数の和が3の倍数ということは、余りが1と余りが2の数の和だから、それぞれ4つと5つあるから、全部での組み合わせは、4×5=20(組)。
参考:問題の10個の数は、1から10までの数を2進法で表したもの。
10進法に直してから考えても同じだ。