中学入試問題(25)
例1.1から12までの異なる12個の整数を4個ずつ、3つのグループに分ける。連続する二つの整数は同じグループには入れない。1が入っている組をA、2が入っている組をB、1も2も入っていない組をCとする。次の問いに答えよ(桐朋中2009)。
1)Aに入る4つの数が1,5,7,12のとき、Cに入る4つの数として考えられるものは2通りある。小さい順に書け。
解説:1,5,7,12を除くと、残りは2,3,4,6,8,9,10,11となる。2はBだから、3はCとなり、4はBとなる。残りは6,8,9,10,11となる。この中からBには2つ、Cには3つ入るが、6をBにすると、連続した4数からCには2つしか選べないから、6はCとなる。よって、Cに入る数は、
3,6,8,10と3,6,9,11となる。
2)Bに入る4つの数の積と、Cに入る4つの数の積の比が231:200のとき、B,Cに入る数を小さい順に書け。
解説:Bに入る数は2および231=3×7×11から、連続した数を避けると、2、7と11と決まる。残りの一つは3の倍数だから、6,9,12のいずれかであるが、6と12は連続した数になるから、9と決まり、B(2,7,9,11)となる。Bの4数の積は、B4=231×2×3となるから、比例関係より、Cの4数の積はC4=200×2×3=(2×2×2×5×5) ×2×3となる。これより、C4=5×10×3×8だから、C(3,5,8,10)となる。ちなみに、A(1,4,6,12)となる。