ある女子大教授の つぶやき

日常の生活で気がついたことを随想風に綴ってみたいと思います。
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入試数学 整数問題の基礎(12)
整数に関する方程式(2)

  合同式に未知数xが含まれている場合、未知数の値を求める目的だから合同方程式という。そうでない場合は合同式という。普通の方程式でも解がない場合があるが、合同方程式の場合は、解がない場合が多い。解が存在しない事も知らずに、時間を掛けることは無駄だから、解があるなしの判定は重要である。

 

1.次の1次合同方程式に解があるかどうかを判定せよ(レベル2)。

1)3X5(mod 7)  2)7X15(mod 14)  3)21X14(mod 28)

 解説:AXB(mod M)にて、AMの最大公約数をdとおく。d=1、すなわち、AMが互いに素ならば、ただ一つの解がある。d>1で、Bdで割り切れれば、(mod M/d)でただ一個の解がある。Bdで割り切れなければ解はない。

1)3と7は互いに素だから、ただ1つの解がある。N6以下の整数として、3X=7N+5より、N=1より、X=4

2)714の最大公約数は7157で割り切れないから解はない。

3)2128の最大公約数は7147で割り切れるから、全体を7で割って、3X2(mod 4)として、解が存在する。3X=4N+2より、N=1より、X=2

元の式に戻れば、答えはX=2,6,10,14,18,22,26(mod 28)

 

 

2.次の1次合同方程式を解け(レベル2

1)4X3(mod 7)  2)123X45(mod 13)  3)14X5(mod 45)  4)6X10(mod 17)

 解説:1)互いに素を(4,7)=1と表すと解はある。4X=7N+3N=3より、X=6(mod 7)

2)1236,456 (mod 13)より、6X6(mod 13)となり、(6,13)=1だから、X=1(mod 13)

3)(14,45)=1だから解はあり、14X=45N+5N=3より、X=10(mod 7)

4)(6,17)=1だから解はあり、6X=17N+10N=4より、X=13(mod 17)

 

3.次の1次合同方程式を解け(レベル2

1)45X56(mod 79)  2)21X28(mod 98)  

 解説:1)数値が大きくなると手数がかかる。簡便法を示すが、いつも成功するとは限らない。

79X79(mod 79)を作り、これより、元の式を引くと、34X23(mod 79)となる。元の式から、この式を引くと、11X33(mod 79)となり、(11,79)=1だから両辺を11で約すと、X=3(mod 79)
 

2)(21,98)=7で、287の倍数だから解があり、全体を7で割って、3X4(mod 14)として、解が存在する。3X=14N+4より、N=1で、X=6

元の式に戻れば、答えはX=6,20,34,48,62,76,90(mod 98)

 

4.次の連立合同方程式を解け(レベル2)

1)未知数が2つ以上の連立合同方程式

5X+4Y6(mod 7)  

3X2Y6(mod 7)  

 解説:△2倍して、,魏辰┐襪函11X18(mod 7)となる。これより、4X4(mod 7)となり、(4,7)=1だから、X1(mod 7)、,紡綟すると、4Y1(mod 7)となり、4Y=7N+1よりN=1で、Y=2(mod 7)


2)次の未知数が1つで式が
2つ以上の連立合同方程式

XA(mod 5)   XB(mod 7) ◆ 

 解説1: 77X7A(mod 35)   ◆55X5B(mod 35) 

−ぁ2X7A5B (mod 35) 42A+30B (mod 35)⇒ X21A+15B (mod 35)

 解説2:与えられた式を、X11(mod 5), X10(mod 7)およびX20(mod 5), X21(mod 7)の二組に分解する。それぞれを解説1の方法で解くと、X121(mod 35), X215(mod 35)となる。解はX1X2を合成してXA X1+B X2 (mod 35) 21A+15B (mod 35)。ベクトル計算と類似。

 

5N=301^301^301(mod 11)を求めよ(レベル2)。

 解説:301=27×11+4だから、3014(mod 11)となる。これより、301^54^5(mod 11)とすると、4^5=1024=93×11+1だから、301^51(mod 11)をうる。ここで、3011(mod 5)であるから、301=5p+1となり、301^301(301^5)^60×301 (mod 11) 301(mod 11)をうる。結局、

N301^301(mod 11) 301^(5p+1) (mod 11) 301^5p×301 (mod 11) 301(mod 11) 4

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| 生活レスキュー | 2010/09/29 4:07 PM |
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