ある女子大教授の つぶやき

日常の生活で気がついたことを随想風に綴ってみたいと思います。
<< 今週のツイッターから | main | 戦争記録を見る所 >>
入試数学 整数問題の基礎(8-22)
 

中学入試問題(31)

 

1.定員の32,5%はきちんと座れる電車がある。この電車に40人乗ると全員座れるが、60人乗ると座れない人が何人かでる。この電車の定員はいくらか(神戸女学院中1990)。

解説:定員をX人とすれば、座席数は0.325Xとなるから、400.325X60となる。これより、40÷0.325X60÷0.325123.0X184124X183と分かる。これだけでは決まらないので、整数問題特有の整数条件を考える。つまり、0.325Xは整数でなければならないことから、0.325=325÷1000=13/40となるので、定員X40の倍数となる。上記範囲内で考えれば、160しかないので、定員は160人と分かる。

 あるいは、椅子に座れる人の人数は、13の倍数であり、40から60の間で、13の倍数は52しかないから、定員は52×40/13=160となる。

 

 

 

2.各位の数の和が9の倍数になるとき、その数は9の倍数となる。次の問いに答えよ(立教新座2009)。

1)6桁の数「32A6B4」が9の倍数になるような、(A,B)の組みは何組あるか。

解説:3+2+A+6+B+4=9K⇒ A+B=9K15となる。A,B0から9まで取りうるから、A+Bの最小値は0であり、最大値は18なので、09K1518⇒ 15÷9=1.6K33÷9=3.6だから、K23となる。よって、A+B=3または12だから、(A,B)=(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)および(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4),(9,3)となるから、全部で11組となる。

もっと簡単には、S=A+B+159の倍数となるが、A+Bのとりうる範囲は0から18であるので、S15から33の間で9の倍数を探せば、1827しかないから、A+B=3,12となる。

 

2)6桁の数「57A76B」が36の倍数になるような、(A,B)の組みをすべて求めよ。

解説:5+7+A+7+6+B=A+B+25となる。36=4×9だから、9の倍数であり、4の倍数であるようにABを決める。まず、A+B+259の倍数となるために、この値は25から9+9+25=43の間で求めるが、この間の9の倍数は2736だから、A+B=2 ,11となる。「57A76B」が4の倍数になるためには、下二桁の6B4の倍数になればいいから、B=0,4,8となる。B=0のとき、

A+B=2からA=2B=4のときはA+B=11からA=7B=8のときはA+B=11からA=3となる。よって、(A,B)(2,0),(3,8),(7,4)

 

3)6桁の数「8753AB」が72の倍数になるような、(A,B)の組みをすべて求めよ。

解説:8+7+5+3+A+B=A+B+23となる。72=9×8だから、まず9の倍数となるためにはS=A+B+23の取りうる範囲はS=23~41だから、2736と分かる。これより、A+B=4,13となる。次に8で割り切れるためには、下3桁が8の倍数となればよい。ここでは、3AB8で割り切れるようにA,Bを決める。10008の倍数だが、300300=38×84だから、3048の倍数と分かる。従って、3AB+48の倍数であればよい。またB72の倍数だから偶数となる。まず、A+B=4では、(A,B)(4,0),(3,1),(2,2), (1,3),(0,4)より、条件に合うのは(A,B)(0,4)となる。

A+B=13では、(A,B)(9,4),(7,6), (5,8)より、(A,B)(7,6)となる。(A,B)(0,4), (7,6)

 

3.生徒5人のテスト点数について、2人ずつ得点を合計した。大きいものから5つ取って並べると、179,171,167,164,161となった。得点はすべて整数として、5人の得点を求めよ(甲陽学院中1994)。

解説:5人をA,B,C,D,E(ABCDE)とすると、A+B=179 A+C=171△漏猟蠅垢襪、第3位の得点167 164B+CA+Dかは分からない。,鉢⊆阿諒奸垢魏辰┐襪函2A+B+C=350となるから、これより、B+Cは偶数と分かるので、B+C=164い箸覆襦といら、A=93と決まる。,らB=86、△らC=78となる。また、A+D167となるから、これより、D=74と決まる。残りは、A+EB+Dの順であるが、B+D=160だから、A+E=161となり、これより、E=16193=68となる。93,86,78,74,68と求まる。

 

例4.1から9までの数値を書いた9枚のカードがある。3枚ずつ上下3段に並べて加えたら999となった。最下段の真ん中には7のカードをおくと、残りのカードはどのようにおけばいいか求めよ。ただし、それぞれの位の数字は1段目よりも2段目が大きく、2段目よりも3段目が大きいとする(女子学院中2001)。

解説:10の位の3段目は7だから、この上には89はおけない。百の位では桁上がりはないから、ここにも89はおけないことは明らか。従って、89は一位において、2段目が83段目が9と決まる。一位は、○+8+9=19だから、○は2と決まる。十の位は、1繰り上がって来るから、7の上には56がくる。百の位に残されている数は、1,3,4で、1繰り上がって来るから、上から、1,3,4となる。

百の位を上からABC(ABC)、十の位を上からDEF(DEF)、一の位をGHI(GHI)として、F=7として、まず、A+B+C9以下となるから、9の位置はIと決まる。以下、繰り上がりと、足したものが9または19になる条件で、数を当てはめていくことができる、以下省略。

| 学問 | 18:44 | comments(0) | trackbacks(1) | ↑TOP
スポンサーサイト
| - | 18:44 | - | - | ↑TOP
コメントする









この記事のトラックバックURL
http://iiaoki.jugem.jp/trackback/3660
トラックバック
75日で1ランク上の高校に合格した学習法
75日あれば、どんなお子様でも 公立【第一志望校】へ逆転合格することは可能です...
| 教えたい | 2010/08/19 4:08 PM |
SPONSORED LINKS
PROFILE
LINKS
CALENDAR
S M T W T F S
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  
<< August 2017 >>
SELECTED ENTRIES
CATEGORIES
ARCHIVES
新着コメント
新着トラックバック
MOBILE
qrcode