ある女子大教授の つぶやき

日常の生活で気がついたことを随想風に綴ってみたいと思います。
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入試数学 整数問題の基礎(8-11)
 

中学入試問題(20)

 

1.ある整数を24で割った商をP、その余りを4で割った商をQ、その余りをRとして、或る整数を[PQR]と表す。次の問いに答えよ(東洋英和女学院2009)。

1)139を規則に従って表せ。

 解説:139÷24=5 余り19で、19÷4=4 余り3となるから、[PQR]=[543]となる。

ある整数をNとすると、N=24P+rr=4Q+Rとなるから、N=24P+4Q+Rとなる。ただし、

rは23以下、R3以下である。不定方程式139=24P+4Q+RP,Q,Rを決めたことになる。変換した数字を[PQR]で表す。

 

2)[152]+[243]を計算して、規則に従って表せ。

 解説1:[152]+[243]=(24×1+4×5+2)+( 24×2+4×4+3)=46+67=113となる。

113=24P+4Q+Rより、P,Q,Rを求める。113=24×4+1717=4×4+1だから、[441]となる。

 解説2:記号のまま算出するには、[PQR]にて、R4つで一桁繰り上がり、24=4×6だから、Q6つで一桁繰り上がる。この考えを使えば、[152]+[243]では2+3=5だから、5=4+1で、Rの桁は1となり、Qの桁は5+41つ繰り上がって来るから、1+5+4=6+4となり、Qの桁は4となる。Pの桁は、1+21つ繰り上がってくるから、1+1+2=4となる。答えは[441]となる。

 

3)A,B,C,Dはすべて異なる整数で、[ABC]×3=[CDA]となる。BDの値を求めよ。

 解説:[ABC]= 24A+4B+C[CDA]= 24C+4D+Aであるから、(24A+4B+C)×3=24C+4D+Aとなる。整理すると、71A+12B21C4D=0となる。71A21C=4(3BD)となる。

ここで、[ABC][CDA]の最後の桁はCAであるが、いずれも3以下の整数で、さらに、どちらも0以上である。与式の形から、3A=Cだから、A=1C=3が決まる。また、B×3は繰り上がらないから、B6以下となる。71A21C=8となるから、8=4(3BD)⇒ 2=3BDより,B0となり、D2と決まる。(A,B,C,D=(1,0,3,2)となる。

 

260,120,130,140,160,180円切手が1枚ずつある。6枚のうち5枚を使って、ABの二通の手紙を出した。Aの手紙はBの手紙の2倍の料金がかかった。ABにどのように切手を使ったか答えよ(淳心学院中1998)。

 解説:適当に組み合わせてもできるが、少しは理屈を考えてみたい。すべて10分の1にしても本質は変わらないから、切手は6,12,13,14,16,18とする。Bの料金をP円とすると、A2P円となり、全体で3P円使うことになる。従って、郵送料の合計は3の倍数となる。

6枚の切手の合計は、6+12+13+14+16+18=79となる。

各切手を分類するため、3P、すなわち3で割って余りを調べると、切手は0,0,1,2,1,0となり、合計額は3で割ると余りは1となる。使う切手5枚の合計額は3の倍数、6枚の合計額は3で割ると1余るから、使わない切手は3で割ると1余る13円か16円と分かる。

 16円切手を使わない場合:奇数の切手は13円だけだが、Aの料金は偶数だから、13円はBで使うことになる。Bの料金は、(7916)×P/3P=21となり、13円以外の切手は8円となるが、この切手はないから、この場合はあり得ない。

13円切手を使わない場合:Bの料金は、(7913)×P/3P=22となる。Bには3枚以上の切手を張るとすると、6+12+14=32となるから、2枚以下となる。Bには6円切手を使わないとすると、12+14=26となるから、6円切手を使わなければならない。後の1枚は、226=16となる。

答えは、使わない切手が130円、Bには60円と160円で合計220円、Aには120円、140円、180円の3枚が使われて、その料金は440円となる。

 注:この問題は整数問題としては、いろいろと考えさせるよい問題であるが、ここまで論理的に考えるのは難しいであろう。

 

3.太郎君はお父さんが28歳のときに生まれた。お父さんの年齢が太郎君の年齢の5倍になるのは太郎君が何歳の時か。

 解説:典型的な年齢算だ。二人の年齢差は常に28歳だ。お父さんの年齢が太郎君の年齢の5倍のとき、お父さんと太郎君の年齢の差は、太郎君の年齢の4倍となる。そこで、28÷4=7となり、太郎君が7歳のときに、お父さんは287=35歳となる。

 方程式では、太郎君の年齢をX歳とすると、5X=28+Xより、X=7

 

4.いま、お母さんは32歳で、太郎君は11歳、二郎君は9歳という。太郎君と二郎君の年齢の和が、お母さんの年齢と等しくなるのは何年後か。

 解説:子ども二人の年齢の和は1年で2ずつ、お母さんの年齢は1年で1ずつ増えるから、毎年1ずつ縮まる。現在の二人の年の和は、11+9=20である。現在、お母さんとの年齢の差は

3220=12で、これが毎年1ずつ減るのだから、答えは12年後となる。

 方程式では、X年後とすると、32+X=(11+X)+(9+X) より、X=12となる。

 

5.太郎君の8年後の年齢は、4年前の年齢の5倍という。いま、太郎君の年齢はいくつか。

 解説:4年前の年齢を1つの塊として考えると、その塊が8年後には5個となる。それから4年後と8年後の合計12年では、その塊は4個だから、1つの塊は,12÷4=3年となる。現在の年齢はこれに4を加えて7歳となる。

 方程式では、現在の年齢をXとすれば、X+8=5×(X4)より、X=7となる。

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